Klasifikace soustav lineárních rovnic

Lineární rovnice popisovat rovné čáry nebo ploché multidimenzionální povrchy. Soustavy lineárních rovnic jsou sady lineárních rovnic . Oni jsou nalezení v mnoha vědeckých a technických oborů. Lineární rovnice se používají statistiky , inženýrství, fyzika , financí a ekonomiky. Daný systém lineárních rovnic může spadat do jedné ze tří kategorií . Pro účely tohoto článku sepo dvourozměrný systém bude použit jako příklad : v pračce pračce 4x + 5y = 1 v pračce 4x - 2y = 2 lineárních rovnic nomenklatura

hodnost soustavy lineárních rovnic je počet lineárně nezávislých řádků nebo sloupců matice koeficientů tohoto systému . Koeficienty matice jemřížka z čísel, která předcházejí systémové proměnné . V našem příkladu ,koeficienty matice by : Přihlásit

4 5

4 -2

Prořádek (nebo sloupec) bude lineárně nezávislé jiného řádku ( nebo sloupce ) , musí být v případě , že jeden řádek (nebo sloupec) nelze vyrobit lineární kombinací jiného řádku ( nebo sloupce ). Neměli byste být schopni více všechny prvky řady 1 jediným číslem , aby si řádek 2. Je vidět, že všechny sloupce v našem příkladě koeficienty matice jsou lineárně nezávislé , protože neexistuje jediné číslo, které by nám umožnilo násobit 4 se dostat 5 a -2 . Můžete také vidět, že řádky v našem příkladu matice jsou lineárně nezávislé. Neexistuje jediné číslo , které po vynásobení 4 produkuje 4 , a po vynásobení 5 produkuje -2 . To znamená, že pořadí našeho příkladu systému je 2.

rozšířená matice jekombinace koeficientů matice a roztok vektoru . V našem příkladu byrozšířená matice je : Přihlásit

4 5 1

4 -2 2

Protože matice má dva řádky , nejvyšší hodnotuhodnost rozšířené matice může být případně je 2. Proto je v tomto příkladu ,hodnost rozšířené matice je rovna hodnosti matice koeficientů.
Rozšířenísystému

v našem příkladu systému rovnic , existují pouze dvě proměnné . Rovnice popisují řádky v dvourozměrném prostoru . Pokud bychom měli přidat další sadu proměnných rovnice by se dala popsat roviny v trojrozměrném prostoru. To může být rozšířena na více rozměrů . Místo přemýšlení , pokud jde o systémy s konkrétním počtem proměnných , můžeme myslet , pokud jde o obecný systém s n proměnnými . To nám umožňuje zařadit obecné vlastnosti všech systémů rovnic , bez ohledu na počet proměnných v systému .
No Solution

Pokud je hodnost koeficienty matice není rovna hodnosti rozšířené matice , není řešení . Neexistuje žádný jedinečný soubor hodnot, které splňuje požadavky popsané v systému rovnic . Systém rovnic nelze vyřešit . V případě, že systém nelze vyřešit , systém je řekl, aby byl konzistentní.
Jedinečné řešení

Tam jejediný , unikátní sada řešení soustavy rovnic v případě, že pozice z koeficientů matice je rovna hodnosti rozšířené matice a jsou obě rovna počtu sloupců matice koeficientů . K dispozici jejedna sada hodnot, které splňuje požadavky popsané soustavy rovnic . Pokud jeunikátní řešení ,systém je řekl, aby byl nezávislý .
Nekonečný počet řešení

Soustava rovnic má nekonečně mnoho řešení, v případě, že hodnost matice koeficientů se rovná hodnosti rozšířené matice a oba jsou menší , než je počet řádků v matici koeficientů . Thiere jenekonečně velká množina hodnot, které splňují požadavky popsané soustavy rovnic . Pokud existujenekonečný počet řešení , systém je řekl, aby byl závislý.